对勾函数是什么样的怎么求最值对勾函数是一种在数学中常见的函数类型，因其图像形状类似“对勾”而得名。它通常指的是形如 $ y = ax + \fracb}x} $ 的函数（其中 $ a > 0, b > 0 $），在某些情况下也可能包括其他形式的分式函数。这种函数在高中数学和大学数学中都有广泛的应用，尤其是在求极值、分析函数性质等方面。
一、对勾函数的基本特点
| 特点 | 描述 |
| 定义域 | $ x \neq 0 $，即 $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| 图像形状 | 图像由两部分组成，分别位于第一象限和第三象限，形成“对勾”形状 |
| 奇偶性 | 是奇函数，即 $ f(-x) = -f(x) $ |
| 单调性 | 在区间 $ (0, +\infty) $ 上先减后增，在 $ (-\infty, 0) $ 上先增后减 |
| 对称性 | 关于原点对称 |
二、怎样求对勾函数的最值
对勾函数 $ y = ax + \fracb}x} $（$ a > 0, b > 0 $）的最值可以通过下面内容技巧求解：
技巧一：利用导数法
1. 求导：
$$
y’ = a – \fracb}x^2}
$$
2. 令导数为零，求极值点：
$$
a – \fracb}x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \fracb}a} \Rightarrow x = \sqrt\fracb}a}} \quad \text或} \quad x = -\sqrt\fracb}a}}
$$
3. 判断极值类型：
– 当 $ x = \sqrt\fracb}a}} $ 时，函数取得最小值；
– 当 $ x = -\sqrt\fracb}a}} $ 时，函数取得最大值（在负区间）。
4. 计算最值：
$$
y_\min} = a\sqrt\fracb}a}} + \fracb}\sqrt\fracb}a}}} = 2\sqrtab}
$$
$$
y_\max} = -2\sqrtab}
$$
技巧二：利用不等式法（均值不等式）
对于 $ x > 0 $，根据均值不等式：
$$
ax + \fracb}x} \geq 2\sqrtax \cdot \fracb}x}} = 2\sqrtab}
$$
当且仅当 $ ax = \fracb}x} $ 即 $ x = \sqrt\fracb}a}} $ 时取等号，此时取得最小值 $ 2\sqrtab} $。
三、拓展资料对比
| 项目 | 对勾函数 $ y = ax + \fracb}x} $（$ a > 0, b > 0 $） |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 图像 | 对勾形状，关于原点对称 |
| 最小值 | 当 $ x = \sqrt\fracb}a}} $ 时，$ y_\min} = 2\sqrtab} $ |
| 最大值 | 当 $ x = -\sqrt\fracb}a}} $ 时，$ y_\max} = -2\sqrtab} $ |
| 求法 | 导数法、均值不等式法均可使用 |
通过对勾函数的领会与分析，我们不仅能掌握其基本性质，还能灵活运用多种技巧求解其最值难题。在实际应用中，这类函数常用于优化难题、物理模型和经济模型等领域。
